傅里叶变换的一些想法

关于傅里叶变换的一些理解

傅里叶级数

首先，我们易知 $1, \sin n \omega t , \cos m \omega t$是正交的

再观察傅里叶级数的形式

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos n \omega t+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin n \omega t$$

所以实际上傅里叶级数是将一个周期为 $T$的函数 $x(t)$以 $1, \sin n \omega t , \cos m \omega t$ 为正交基进行展开

所以我们要求的系数就是 $x(t)$ 在 $1, \sin n \omega t , \cos m \omega t$这些基上的投影（注意：这些是正交基，不是标准正交基！）

以 $\cos n \omega t$ 为例，在其方向上的单位向量为

$$\frac{\cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\cos n \omega t}{\sqrt{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}}$$

$x(t)$在 $\cos n \omega t$方向上的投影为

$$\frac{\boldsymbol{x}(t)\cdot \cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\sqrt{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}}$$

注：上面的 $\cdot$ 指的是向量的点积

于是，$x(t)$在 $\cos n \omega t$ 方向上的项为

$$\frac{\boldsymbol{x}(t)\cdot \cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert } \frac{\cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t} \cos n \omega t$$

所以系数 $a_n$ 为

$$\boxed{a_n=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}$$

$b_n$ 和 $a_{0}$ 同理

傅里叶级数也可以写成复数形式，由

$$\begin{align*} \cos n \omega t&= \frac{e^{jn \omega t}+e^{-jn \omega t}}{2}\\ \sin n \omega t&= \frac{e^{jn \omega t}-e^{-jn \omega t}}{2j} \end{align*}$$

可以得到

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n-j b_n}{2}e^{jn \omega t} + \frac{a_n+j b_n}{2}e^{-jn \omega t} \right)$$

将 $a_n, b_n$ 代入，可以求得前面系数分别为

$$\begin{align*} \frac{a_n+j b_n}{2}&=\frac{1}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t+j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\sin n \omega t \mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{jn \omega t} \mathrm{d}t \\ \frac{a_n-j b_n}{2}&=\frac{1}{T}\left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t-j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\sin n \omega t \mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \omega t} \mathrm{d}t \end{align*}$$

于是定义 $C_n$ ，

$$\boxed{C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \omega t} \mathrm{d}t ，-\infty < n< + \infty}$$

有

$$\boxed{x(t)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn \omega t}}$$

其中 $a_0=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\mathrm{d}t=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) e^{-j\cdot 0\cdot \omega t}\mathrm{d}t$ 也符合上式

傅里叶变换

如果对一个非周期函数该如何呢？

非周期函数可以视为 $T\to \infty, \omega \to \mathrm{d}\omega, n \omega \to \omega$，于是有

$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{jwt} \frac{\mathrm{d} \omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$

将 $\omega=2\pi f$ 代入

$$x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t$$

另 $F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t$ 为频谱密度

则傅里叶变换和逆变换为：

$$\boxed{ \begin{align*} &\mathcal{F}\{x(t)\}=F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &\mathcal{F}^{-1}\{F(f)\}=x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(f)e^{j 2\pi f t}\mathrm{d}f \end{align*}}$$

周期函数的傅里叶变换

引入

首先，我们需要证明一个引理：

$$\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jxy} \mathrm{d}x=2\pi\delta (y)}$$

证明过程如下：

$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{jxy} \mathrm{d}x&=\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A e^{jxy}\mathrm{d}x\\ &=\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{e^{jxy}}{jy} \mathrm{d}(jxy)\\ &=\lim_{A \to \infty} \frac{e^{jAy}-e^{-jAy}}{jy}\\ &=\lim_{A \to \infty} 2 \frac{\sin Ay}{y} \end{align*}$$

由 $\delta (x)$ 函数的性质 $\delta (x)=\lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{\pi} \sin c(kx)$ ，可得

$$\lim_{A \to \infty} 2 \frac{\sin Ay}{y}=\lim_{A \to \infty} 2\pi \cdot \frac{A}{\pi} \sin c(Ay)=2\pi \delta(y)$$

由于 $\delta (x)=\delta (-x)$，故而也有

$$\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jxy} \mathrm{d}x=2\pi\delta (y)}$$

另外，有 $\delta (Ax)=\frac{1}{A} \delta (x)$ ，证明如下：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}x=\frac{1}{A}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}(Ax)=\frac{1}{A}$$

故而有

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{A}\delta(x)\mathrm{d}x$$

因而（不严谨的说）

$$\boxed{\delta (Ax)=\frac{1}{A} \delta (x)}$$

正题

对于周期函数做傅里叶变换，可以现将其展开成傅里叶级数，再做变换，设其周期为 $T_0$，频率为 $f_0$

$$x(t)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{j 2 \pi n f_0 t}$$

则有

$$\begin{align*} \mathcal{F}\{x(t)\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{j 2 \pi n f_0 t} \right) e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( C_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j 2\pi (f-nf_0)t }\mathrm{d}t \right)\\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( C_n \cdot 2\pi \delta(2\pi (f-nf_0)) \right) \\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_n\delta(f-nf_0) \end{align*}$$

即有结论，周期函数 $x(t)$ 频谱密度函数 $F(f)$ 与 $x(t)$ 的傅里叶级数的系数关系为

$$\boxed{F(f) =\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_n\delta(f-nf_0)}$$