傅里叶变换的一些想法
关于傅里叶变换的一些理解
傅里叶级数
首先，我们易知 \(1, \sin n \omega t , \cos m \omega t\)是正交的
再观察傅里叶级数的形式
\[ x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos n \omega t+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin n \omega t \]
所以实际上傅里叶级数是将一个周期为 \(T\)的函数 \(x(t)\)以 \(1, \sin n \omega t , \cos m \omega t\) 为正交基进行展开
所以我们要求的系数就是 \(x(t)\) 在 \(1, \sin n \omega t , \cos m \omega t\)这些基上的投影（注意：这些是正交基，不是标准正交基！）
以 \(\cos n \omega t\) 为例，在其方向上的单位向量为
\[ \frac{\cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\cos n \omega t}{\sqrt{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}} \]
\(x(t)\)在 \(\cos n \omega t\)方向上的投影为
\[ \frac{\boldsymbol{x}(t)\cdot \cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\sqrt{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}} \]
注：上面的 $$ 指的是向量的点积
于是，\(x(t)\)在 $n t $ 方向上的项为
\[ \frac{\boldsymbol{x}(t)\cdot \cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert } \frac{\cos n \omega t}{\left\vert \cos n \omega t \right\vert }=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t} \cos n \omega t \]
所以系数 \(a_n\) 为
\[ \boxed{a_n=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n \omega t \mathrm{d}t}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t} \]
\(b_n\) 和 \(a_{0}\) 同理
傅里叶级数也可以写成复数形式，由
\[ \begin{align*} \cos n \omega t&= \frac{e^{jn \omega t}+e^{-jn \omega t}}{2}\\ \sin n \omega t&= \frac{e^{jn \omega t}-e^{-jn \omega t}}{2j} \end{align*} \]
可以得到
\[ x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n-j b_n}{2}e^{jn \omega t} + \frac{a_n+j b_n}{2}e^{-jn \omega t} \right) \]
将 \(a_n, b_n\) 代入，可以求得前面系数分别为
\[ \begin{align*} \frac{a_n+j b_n}{2}&=\frac{1}{T} \left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t+j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\sin n \omega t \mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{jn \omega t} \mathrm{d}t \\ \frac{a_n-j b_n}{2}&=\frac{1}{T}\left( \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\cos n \omega t \mathrm{d}t-j\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)\sin n \omega t \mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \omega t} \mathrm{d}t \end{align*} \]
于是定义 \(C_n\) ，
\[ \boxed{C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn \omega t} \mathrm{d}t ，-\infty < n< + \infty} \]
有
\[ \boxed{x(t)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn \omega t}} \]
其中 \(a_0=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)\mathrm{d}t=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t) e^{-j\cdot 0\cdot \omega t}\mathrm{d}t\) 也符合上式
傅里叶变换
如果对一个非周期函数该如何呢？
非周期函数可以视为 \(T\to \infty, \omega \to \mathrm{d}\omega, n \omega \to \omega\)，于是有
\[ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{jwt} \frac{\mathrm{d} \omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t \]
将 \(\omega=2\pi f\) 代入
\[ x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j2\pi ft} \mathrm{d}f\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t \]
另 \(F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\) 为频谱密度
则傅里叶变换和逆变换为：
\[ \boxed{ \begin{align*} &\mathcal{F}\{x(t)\}=F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &\mathcal{F}^{-1}\{F(f)\}=x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(f)e^{j 2\pi f t}\mathrm{d}f \end{align*}} \]
周期函数的傅里叶变换
引入
首先，我们需要证明一个引理：
\[ \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{jxy} \mathrm{d}x=2\pi\delta (y)} \]
证明过程如下：
\[ \begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{jxy} \mathrm{d}x&=\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^A e^{jxy}\mathrm{d}x\\ &=\lim_{A \to \infty} \int_{-A}^{A} \frac{e^{jxy}}{jy} \mathrm{d}(jxy)\\ &=\lim_{A \to \infty} \frac{e^{jAy}-e^{-jAy}}{jy}\\ &=\lim_{A \to \infty} 2 \frac{\sin Ay}{y} \end{align*} \]
由 \(\delta (x)\) 函数的性质 \(\delta (x)=\lim\limits_{k \to \infty} \frac{k}{\pi} \sin c(kx)\) ，可得
\[ \lim_{A \to \infty} 2 \frac{\sin Ay}{y}=\lim_{A \to \infty} 2\pi \cdot \frac{A}{\pi} \sin c(Ay)=2\pi \delta(y) \]
由于 \(\delta (x)=\delta (-x)\)，故而也有
\[ \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-jxy} \mathrm{d}x=2\pi\delta (y)} \]
另外，有 \(\delta (Ax)=\frac{1}{A} \delta (x)\) ，证明如下：
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}x=\frac{1}{A}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}(Ax)=\frac{1}{A} \]
故而有
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(Ax)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{A}\delta(x)\mathrm{d}x \]
因而（不严谨的说）
\[ \boxed{\delta (Ax)=\frac{1}{A} \delta (x)} \]
正题
对于周期函数做傅里叶变换，可以现将其展开成傅里叶级数，再做变换，设其周期为 \(T_0\)，频率为 \(f_0\)
\[ x(t)=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{j 2 \pi n f_0 t} \]
则有
\[ \begin{align*} \mathcal{F}\{x(t)\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_ne^{j 2 \pi n f_0 t} \right) e^{-j 2\pi f t}\mathrm{d}t\\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty} \left( C_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j 2\pi (f-nf_0)t }\mathrm{d}t \right)\\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}\left( C_n \cdot 2\pi \delta(2\pi (f-nf_0)) \right) \\ &=\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_n\delta(f-nf_0) \end{align*} \]
即有结论，周期函数 \(x(t)\) 频谱密度函数 \(F(f)\) 与 \(x(t)\) 的傅里叶级数的系数关系为
\[ \boxed{F(f) =\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}C_n\delta(f-nf_0)} \]