数理杂记

\(\nabla\) 运算规则推导

\[ \boldsymbol{def}\quad \varphi, \phi 为标量函数, \boldsymbol{f},\boldsymbol{g} 为矢量函数 \]

注意由 \(\nabla\) 算符的微分性和矢量性，可像正常求导一样写出下一步，在进行矢量运算

\[ \begin{align} \nabla (\varphi \phi)&=\nabla (\varphi_c \phi)+\nabla(\varphi\phi_c) \\&=\varphi\nabla\phi+\phi\nabla\varphi \end{align} \]

\[ \begin{align} \nabla \cdot(\varphi \boldsymbol{f})&=\nabla \cdot(\varphi_c \boldsymbol{f})+\nabla \cdot(\varphi \boldsymbol{f}_c) \\&=\varphi \nabla \cdot \boldsymbol{f}+\nabla \varphi \cdot \boldsymbol{f} \end{align} \]

\[ \begin{align} \nabla \times (\varphi \boldsymbol{f})&=\nabla \times (\varphi_c \boldsymbol{f})+\nabla \times (\varphi \boldsymbol{f}_c) \\&=\varphi \nabla\times \boldsymbol{f}+\nabla \varphi\times \boldsymbol{f} \end{align} \]

\[ \begin{align} \nabla \cdot (\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g})&=\nabla\cdot(\boldsymbol{f}_c\times \boldsymbol{g})+\nabla\cdot(\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}_c)\\&=-\boldsymbol{f}_c\cdot(\nabla\times \boldsymbol{g})+\boldsymbol{g}_c(\nabla\times \boldsymbol{f})\\&=-\boldsymbol{f}\cdot(\nabla\times \boldsymbol{g})+\boldsymbol{g}\cdot(\nabla\times \boldsymbol{f}) \end{align} \]

这个式子第二步化简是用混合积的轮换对称性，将 \(\nabla\) 作用在该作用的地方，不要出现 \(\nabla\) 作用在最右边，如 \(\boldsymbol{f}\cdot(\boldsymbol{g}\times \nabla)\)

\[ \begin{align} \nabla\times (\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g})&=\nabla \times (\boldsymbol{f}_c\times \boldsymbol{g})+\nabla\times (\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}_c)\\&=(\nabla \cdot\boldsymbol{g})\boldsymbol{f}_c-(\boldsymbol{f}_c\cdot\nabla)\boldsymbol{g}+(\boldsymbol{g}_c\cdot\nabla)\boldsymbol{f}-(\nabla\cdot \boldsymbol{f})\boldsymbol{g}_c\\&= (\nabla \cdot\boldsymbol{g})\boldsymbol{f}-(\boldsymbol{f}\cdot\nabla)\boldsymbol{g}+(\boldsymbol{g}\cdot\nabla)\boldsymbol{f}-(\nabla\cdot \boldsymbol{f})\boldsymbol{g} \end{align} \]

上面最后一个式子前两项由 \(\nabla \times (\boldsymbol{f}_c\times \boldsymbol{g})\) 展开，后两项由 \(\nabla\times (\boldsymbol{f}\times \boldsymbol{g}_c)\) 展开

下面化简如下式子 \(\nabla(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g})\)，需要有一个引例

由矢量运算可知

\[ \boldsymbol{A}\times (\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C})=(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{C})\boldsymbol{B}-(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B})\boldsymbol{C} \]

那么就有

\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{C})=\boldsymbol{A}\times (\boldsymbol{B}\times \boldsymbol{C})+(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{B})\boldsymbol{C} \]

将上式 \(\boldsymbol{C}=\nabla\)即可得到下述式子

\[ \begin{align} \nabla(\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{g})&=\nabla(\boldsymbol{f}_c\cdot \boldsymbol{g})+\nabla(\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{g}_c)\\&=\boldsymbol{f}_c\times (\nabla\times \boldsymbol{g})+(\boldsymbol{f}_c\cdot \nabla)\boldsymbol{g}+\boldsymbol{g}_c\times (\nabla\times \boldsymbol{f})+(\boldsymbol{g}\cdot \nabla)\boldsymbol{f}\\&=\boldsymbol{f}\times (\nabla\times \boldsymbol{g})+(\boldsymbol{f}\cdot \nabla)\boldsymbol{g}+\boldsymbol{g}\times (\nabla\times \boldsymbol{f})+(\boldsymbol{g}\cdot \nabla)\boldsymbol{f} \end{align} \]

球坐标系与直角坐标系的变换

坐标变换

直角系到球坐标系

\[ \begin{align} x&=r\sin \theta \cos \phi \\ y&=r \sin \theta \sin \phi \\ z&=r \cos \theta \end{align} \]

球坐标系到直角坐标系

\[ \begin{align} r&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta &=\arccos \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \phi &= \arctan \frac{y}{x} \end{align} \]

基矢变换

写出 \((\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})\) 在 \((\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}})\) 下的坐标

\[ \begin{align} \boldsymbol{\hat{r}}&=(1,\theta,\phi) \\ \boldsymbol{\hat{\theta}}&=(1,\theta+\frac{\pi}{2},\phi) \\ \boldsymbol{\hat{\phi}}&=(1,\frac{\pi}{2},\phi+\frac{\pi}{2}) \end{align} \]

由此，可以由坐标变换写出 \((\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})\) 到 \((\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}})\) 的变换矩阵

\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ \boldsymbol{\hat{\phi}} \\\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\hat{x}} \\ \boldsymbol{\hat{y}} \\ \boldsymbol{\hat{z}} \\\end{pmatrix} \]

要求从 \((\boldsymbol{\hat{x}},\boldsymbol{\hat{y}},\boldsymbol{\hat{z}})\) 到 \((\boldsymbol{\hat{r}},\boldsymbol{\hat{\theta}},\boldsymbol{\hat{\phi}})\) 的变换，即求上述矩阵的逆

由于该矩阵式正交的，所以 \(A^{-1}=A^{\mathrm{T}}\) （通俗易懂：什么是正交矩阵）

则有

\[ \begin{pmatrix} \boldsymbol{\hat{x}} \\ \boldsymbol{\hat{y}} \\ \boldsymbol{\hat{z}} \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat{\theta}} \\ \boldsymbol{\hat{\phi}} \\\end{pmatrix} \]

三维正交曲线坐标系 \((u,v,w)\) 的梯度、散度、旋度

前置内容

现在我们用 \((u,v,w)\) 来代替直角坐标系中的 \((x, y, z)\) 、球坐标系中的 \((r,\theta,\phi)\) 、柱坐标系的 \((s,\theta,z)\) ，以得到普遍性的结果。其中这三个单位矢量正交，且 \(\boldsymbol{\hat{u}},\boldsymbol{\hat{v}},\boldsymbol{\hat{w}}\) 指坐标增加的方向。值得注意的是，这三个单位矢量都是位置的函数，因为其方向随坐标的变化而变化。由此，我们可以给出从 \((u,v,w)\) 到 \((u+\mathrm{d}u,v+\mathrm{d}v,w+\mathrm{d}w)\) 的无穷小位移

\[ \mathrm{d}\boldsymbol{l}=f\mathrm{d}u \boldsymbol{\hat{u}}+g\mathrm{d}v \boldsymbol{\hat{v}}+h\mathrm{d}w \boldsymbol{\hat{w}} \]

其中 \(f,g,h\) 是描述单位矢量随坐标变化的函数。

例如，直角坐标系是 \((1,1,1)\) ，而球坐标系是 \((1,r,r\sin \theta)\)

梯度

现在假设有一个标量场 \(t(u,v,w)\) ，当有一个点位移了一个 \(\mathrm{d}\boldsymbol{l}\) 时，标量场 \(t\) 有变化

\[ \mathrm{d}t=\frac{\partial t}{\partial u}\mathrm{d}u+\frac{\partial t}{\partial v}\mathrm{d}v+\frac{\partial t}{\partial w}\mathrm{d}w \]

由梯度的定义可知，

\[ \mathrm{d}t=\nabla t \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=(\nabla t)_u f\mathrm{d}u+(\nabla t)_v g\mathrm{d}v+(\nabla t)_w h\mathrm{d}w \]

其中 \((\nabla t)_u\) 为 \(t\) 的梯度在 \(\boldsymbol{\hat{u}}\) 方向的分量

对比前两式，我们可得

\[ (\nabla t)_u=\frac{1}{f}\frac{\partial t}{\partial u},\quad(\nabla t)_v=\frac{1}{g}\frac{\partial t}{\partial v},\quad(\nabla t)_w=\frac{1}{h}\frac{\partial t}{\partial w} \]

即梯度为

\[ \nabla t=\frac{1}{f}\frac{\partial t}{\partial u}\boldsymbol{\hat{u}}+\frac{1}{g}\frac{\partial t}{\partial v}\boldsymbol{\hat{v}}+\frac{1}{h}\frac{\partial t}{\partial w}\boldsymbol{\hat{w}} \]

散度

现在假定有一个矢量场 \[\boldsymbol{A}(u,v,w)=A_u \boldsymbol{\hat{u}}+A_v \boldsymbol{\hat{v}}+A_w \boldsymbol{\hat{w}}\]

由散度定理可得，

\[ \oint \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a}=\int \nabla \cdot \boldsymbol{A} \mathrm{d}\tau \]

有正交性可知，一无限小体元近似于一正方体。我们取一小体元及其表面分析，

小体元

小体元的三个边长为

\[ \begin{align} \mathrm{d}l_u&=f\mathrm{d}u\\\mathrm{d}l_v&=g\mathrm{d}v\\\mathrm{d}l_w&=h\mathrm{d}w \end{align} \]

由此易知体元体积 \(\mathrm{d}\tau\)

\[ \mathrm{d}\tau=(fgh) \mathrm{d}u \mathrm{d}v \mathrm{d}w \]

和前面面元矢量

\[ \mathrm{d}\boldsymbol{a}=-(gh)\mathrm{d}v\mathrm{d}w \]

则前面的通量为

\[ \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a}=-(ghA_u)\mathrm{d}v\mathrm{d}w \]

由于 \(A_u,g,h\) 都是关于位置 \((u,v,w)\) 的函数，因此其前后面不一样，要一起算偏微分。前后两面的通量为

\[ \frac{\partial (ghA_u)}{\partial u}\mathrm{d}u \mathrm{d}v\mathrm{d}w=\frac{1}{fgh}\frac{\partial (ghA_u)}{\partial u}\mathrm{d}\tau \]

对左右、上下侧面做此操作，则可以得

\[ \oint \boldsymbol{A}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a}=\int \frac{1}{fgh}\left(\frac{\partial (ghA_u)}{\partial u}+\frac{\partial (fhA_v)}{\partial v}+\frac{\partial (fgA_w)}{\partial w} \right)\mathrm{d}\tau \]

那么 \(\boldsymbol{A}\) 的散度即为

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{A}=\frac{1}{fgh}\left(\frac{\partial (ghA_u)}{\partial u}+\frac{\partial (fhA_v)}{\partial v}+\frac{\partial (fgA_w)}{\partial w} \right) \]

旋度

电偶极子

电偶极子在 \((r,\theta)\) 产生的电势、电场

\[ \begin{align} \varphi&=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{\sqrt{r^2+\frac{l^2}{4}-rl\cos\theta}}-\frac{1}{\sqrt{r^2+\frac{l^2}{4}+rl\cos\theta}}\right) \\&=\frac{q}{4\pi \varepsilon_0r}\left(1+\frac{l}{2r}\cos\theta-1+\frac{l}{2r}\cos\theta \right)\\&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}\cdot \frac{l\cos\theta}{r}\\&=\frac{\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{\hat{r}}}{4\pi\varepsilon_0r^2} \end{align} \]

\[ \boldsymbol{E_r}=-\frac{\partial \varphi}{\partial r} = \frac{\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{\hat{r}}}{2\pi\varepsilon_0r^3} \]

\[ \begin{align} \boldsymbol{E_\theta}&=-\frac{\partial \varphi}{r\partial \theta} \\ &=\frac{p \sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\ &=\frac{(\boldsymbol{p}\times \boldsymbol{\hat{r}})\times \boldsymbol{\hat{r}}}{4\pi\varepsilon_0r^3}=\frac{(\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{\hat{r}})\boldsymbol{\hat{r}}-\boldsymbol{p}}{4\pi\varepsilon_0r^3} \end{align} \]

电偶极子在外场中能量、受力、受力矩

\[ \begin{align} E_p&=-q\varphi_- +q\varphi_- \\&=q(\varphi_+ -\varphi_-)\\&=q(\boldsymbol{l}\cdot \nabla\varphi)\\&=-\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{E} \end{align} \]

\[ \begin{align} \boldsymbol{F}&=-\nabla E_p \\&=\nabla(\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{E})\\&=(\boldsymbol{p}\cdot \nabla)\boldsymbol{E}+\boldsymbol{p}\times (\nabla\times \boldsymbol{E})+(\boldsymbol{E}\cdot \nabla)\boldsymbol{p}+\boldsymbol{E}\times (\nabla\times \boldsymbol{p})\\&=(\boldsymbol{p}\cdot \nabla)\boldsymbol{E} \end{align} \]

可见，若外场均匀，则合外力为零

对于受到的力矩，可以先以偶极子中点为基点

下面有一个矢量图，如果使用夜晚模式可能会导致观感变差

\[ \begin{align} \boldsymbol{M'}&=q\left(\frac{\boldsymbol{l}}{2}\times \boldsymbol{E_+}\right)-q\left(\frac{-\boldsymbol{l}}{2}\times \boldsymbol{E_-} \right) \\&=q\left(\frac{\boldsymbol{l}}{2}\times (\boldsymbol{E_+}+\boldsymbol{E_-}) \right)\\&=\boldsymbol{p}\times \boldsymbol{E} \end{align} \]

再写成对任一点的形式

\[ \begin{align} \boldsymbol{M}&=\boldsymbol{M'}+\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{F} \\&=\boldsymbol{p}\times \boldsymbol{E}+\boldsymbol{r}\times (\boldsymbol{p}\cdot \nabla)\boldsymbol{E} \end{align} \]

其中 \(\boldsymbol{r}\) 为偶极子相对于基点的位矢

可以看到的是，如果场是均匀的，那么其受外力矩就是 \(\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}\times \boldsymbol{E}\)

四元数(quaternions)

定义

\[ q=s+x i+y j+ z k \]

其中，\(i,j,k\) 的运算规则同 \(\mathbb{R}^3\) 中单位向量 \(\boldsymbol{i} ,\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\) ，即右手螺旋法则

由

\[ \begin{align} \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j}&=\boldsymbol{k} \\ \boldsymbol{j}\times \boldsymbol{i} &=-\boldsymbol{k} \end{align} \]

则同理有

\[ \begin{align} i j&=k \\ j i&=-k \end{align} \]

同时规定 \(ijk=i^2=j^2=k^2=-1\)

一个四元数可以记作 \(q=[s,\boldsymbol{v}]\) ，即后面的纯“虚”部可以记作一个向量 \(\boldsymbol{v}\)

运算法则

加法、减法、数乘

形同虚数，固略

乘法

现有两个四元数

\[ \begin{align} q_1&=s_1+x_1i+y_1j +z_1k \\ q_2&=s_2+x_2i+y_2j+z_2k \end{align} \]

则

\[ \begin{align} q_1q_2=&s_1s_2+s_2(x_1i+y_1j+z_1k)+s_1(x_2i+y_2j+z_2k)\\&-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2\\&+x_1y_2k-y_1x_2k+y_1z_2i-z_1x_2i+z_1x_2j-x_1z_2j \end{align} \]

最下面那个式子类似于叉乘，即

\[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ i & j & k \\\end{vmatrix} \]

将实虚部分离，可以得到

\[ q_1q_2=[s_1s_2-\boldsymbol{v_1}\cdot \boldsymbol{v_2},s_1 \boldsymbol{v_2}+s_2 \boldsymbol{v_1}+\boldsymbol{v_1}\times \boldsymbol{v_2}] \]

由此可以看出，四元数乘法不满足交换律

数量积

\[ q_1\cdot q_2=s_1s_2+x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \]

共轭

若设 \(q=[s,\boldsymbol{v}]\) ，则它的共轭为 \(q^*=[s,-\boldsymbol{v}]\)

模

\[ \begin{align} |q|&=\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2} \\&=\sqrt{s^2+\boldsymbol{v}^2} \end{align} \]

另

\[ qq^*=q^*q=|q|^2 \]

单位四元数

\[ \hat{q}=\frac{q}{|q|} \]

求逆

定义 \(qq^{-1}=1\) ，则有下面推导

\[ \begin{align} qq^{-1}&=1 \\ q^*qq^{-1}&=q^*\\ |q|^2q^{-1}&=q^*\\ q^{-1}&=\frac{q^*}{|q|^2} \end{align} \]

三维旋转

类比于二维向量旋转，我们希望构造一个单位四元数 \(q\) 使得一个三维空间中的一个向量 \(\boldsymbol{p}\) 绕轴 \(\boldsymbol{\hat{v}}\) 旋转 \(\theta\) 角到 \(\boldsymbol{p'}\) ，即表达式为 \(p'=q p\) （这里 \(\boldsymbol{p},\boldsymbol{p'}\) 都已被换成对应的四元数，其中实部为零）

然而事实上，这并不正确，因为

\[ \begin{align} p'&=qp \\&=[\cos\theta,\sin \theta \boldsymbol{\hat{v}}][0,\boldsymbol{p}]\\&=[-\sin \theta \boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{\hat{v}},\cos\theta \boldsymbol{p}+\sin \theta \boldsymbol{\hat{v}}\times \boldsymbol{p}] \end{align} \]

如果 \(\boldsymbol{p}\not\perp \boldsymbol{\hat{v}}\) 则 \(Re(p')\not=0\) ，则 \(p'\) 不为纯四元数，且 \(|p'|\not=|p|\)

事实上可以证明，若 \(\boldsymbol{p}\) 绕轴 \(\boldsymbol{\hat{v}}\) 旋转 \(2\theta\) 到 \(\boldsymbol{p'}\) ，则需如下

\[ \begin{align} p'&=qpq^{-1} \\ q^{-1}&=q^{*}=[\cos\theta,\sin \theta \boldsymbol{\hat{v}}] \end{align} \]

参考文献

Understanding Quaternions

tikz画图练习

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw[->] (0.5,5)--(5.5,5);
\draw[->] (0.5,1)--(5.5,1);
\draw[->] (0,1.5)--(0,4.5);
\draw[->] (6,1.5)--(6,4.5);
\node at (0,1) {$U^{**}$};
\node at (0,5) {$U$};
\node at (6,5) {$V$};
\node at (6,1) {$V^{**}$};
\node[above] at (3,5) {$\varphi$};
\node[below] at (3,1) {$\varphi^{**}$};
\node[left] at (0,3) {$\eta_U$};
\node[left] at (6,3) {$\eta_V$};
\node[right] at (0,3) {$\sim$};
\node[right] at (6,3) {$\sim$};
\end{tikzpicture}
\end{document}